LE PROFESSEUR GUILLAUME - 2 LE PROFESSEUR GUILLAUME - 2 par Jean Laberge, du cégep du Vieux Montréal
NICOLAS - Si quelqu'un pense que 2 + 2 = 5, il est "dans les patates", il se trompe parce que, qu'il le veuille ou non, 2 + 2 = 4! C'est un fait!
PHILIPPE - Une minute! 2 + 2 = 4, c'est pas un fait comme la Terre est ronde!
SOPHIE - ...oui, on n'a pas observé ça comme on a pu voir la Terre avec des caméras...
NICOLAS - ...bien, les hommes ont découvert que deux roches ou deux bâtons ajoutés à deux autres en donnent quatre. Ils ont fait de cette découverte une vérité.
SHILAN - Moi, je crois pas à ça que les maths ont été découvertes. Avec la quantité de formules qu'on a à apprendre, ça n'a pas d'allure ton histoire!
GUILLAUME - Encore une fois, Nicolas, tu vas devoir nous expliquer ce que tu veux dire quand tu dis que c'est un fait que 2 + 2 =4.
NICOLAS - Bien, c'est simple: tout le monde est d'accord avec ça que 2 + 2 = 4!
GUILLAUME - Donc, le fait c'est que tout le monde est d'accord, c'est ça?
NICOLAS - Oui.
GUILLAUME - Mais, tantôt, tu disais pas que c'est parce que les hommes ont découvert que deux choses ajoutées à deux autres en donnaient quatre?
NICOLAS - Oui, tout le monde s'est rendu compte de ça.
GUILLAUME - Tout le monde pouvait faire cette découverte?
NICOLAS - Oui.
GUILLAUME - Que réponds-tu à Shilan, qui t'objecte qu'il existe une quantité énorme de vérités mathématiques, de sorte qu'il est ridicule de penser que les hommes les ont toutes découvertes? Par exemple, a-t-on découvert que (164-48) ÷ 4 = 29, et après - disons, deux ans plus tard - que 164-48 = 29 x 4? Ou encore que (5 x 5) + (4 x 4) = (4 x 4 ) + (5 x 5 ), et plus tard que 52 + 42 = 42 + 52, et ainsi de suite?
NICOLAS - Bien non, c'est ridicule! Il suffit de savoir calculer.
GUILLAUME - Que veux-tu dire?
NICOLAS - Bien, de savoir additionner, soustraire, diviser, etc....
SHILAN - ... et de connaître les lois de l'addition et de la multiplication, comme la commutativité, la distributivité, et bien d'autres. Par exemple, on sait que l'addition est commutative, mais pas la soustraction. Par exemple: 164 + 48 = 48 + 164, mais 164 - 48 n'égale pas 48 - 164; et la multiplication est distributive par rapport à l'addition: a x (b + c) = (a x b ) + (a x c).
PHILIPPE - Je suis d'accord avec Shilan: les maths, c'est de la logique. Pour prouver que 2 + 2 = 4, c'est facile. On établit, d'abord, que 2 = 1 + 1. OK? Ensuite, que 4 = 1 + 1 + 1 +1. C'est clair que (1 + 1) + (1+ 1) = 1 + 1 + 1 + 1. Autrement dit, 4 c'est 2 ajouté à lui-même, et le tour est joué!
GUILLAUME - Excellent. Remarquez que le raisonnement de Philippe obéit au principe logique suivant: si A = B, et B = C, alors A = C, appelé "principe de transitivité". Ainsi: si 2 + 2 = (1 + 1) + (1 + 1) [A = B], et que 1 + 1 + 1 + 1 = 4 [B = C], alors 2 + 2 = 4 [A = C]. Il n'est pas nécessaire, je crois, d'aller plus loin pour montrer que les mathématiques sont de la logique appliquée. N'es-tu pas de cet avis Nicolas?
NICOLAS - Oui, c'est vrai.
GUILLAUME - Maintenant, dis-moi Nicolas, quels sont les "faits" qui font que 2 + 2 n'égale pas 5?
NICOLAS - C'est pas logique.
GUILLAUME - Les faits en question sont donc des "faits logiques".
NICOLAS - Je vois pas autre chose.
SHILAN - Monsieur, suis-je la seule à penser qu'on a perdu le fil de la discussion? On est parti de la question de la peine de mort et (dans Le professeur Guillaume 1) nous voilà en train de parler des math! Cherchez le rapport!
PHILIPPE - Bien, on est parti de la question de ce qu'est une "preuve". Nicolas dit qu'il n'y en a pas quand on discute de sujets controversés, comme la peine de mort. Le prof lui a alors demandé ce qu'il entendait par "preuve". Nicolas entend un fait observable. Il dit qu'il y a aussi des preuves par les faits en math. Moi, Sophie, Shilan et le prof, nous ne sommes pas d'accord avec lui.
GUILLAUME - Merci pour ce résumé. J'ajouterais, en guise de précision, que le type de preuve auquel on a affaire en math est de nature logique et non de nature observationnelle, comme en physique, en chimie, en biologie, etc. Le grand logicien allemand Gottlob Frege (1848-1925) - considéré comme le plus grand logicien depuis Aristote -, de même que le philosophe britannique Bertrand Russell (1872-1970), tentèrent de montrer, au début de notre siècle, que les mathématiques ne sont que de la logique. Malheureusement, ils ont échoué.
Maintenant, par "preuve logique", les logiciens modernes entendent une argumentation dont la vérité de la conclusion découle nécessairement de la vérité des arguments. Soit, par exemple, l'argumentation logique suivante:
(1) Tous les Québécois sont mexicains.
(2) Tous les Mexicains sont européens.
________________________________(C) Par conséquent, tous les Québécois sont européens.
Il est clair que les arguments (1), (2), de même que la conclusion (C), sont faux. Mais peu importe, ce n'est pas ce qui intéresse les logiciens. Supposons, diraient les logiciens, que (1), (2) soient vrais: vous êtes alors forçés de conclure (C).
Donc, aussi étrange que cela puisse être, la logique ne cherche pas à découvrir ce qui est vrai. Elle laisse cette tâche aux diverses sciences exactes (physique, chimie, biologie, etc.) et humaines (la sociologie, la psychologie, l'histoire, etc.). La logique cherche à découvrir ce qui se passe si les arguments sont vrais (ou faux), et elle dit que si les arguments sont vrais, alors la conclusion ne peut être fausse.
En ce sens. les math sont donc comme de la logique. S'il est vrai que 2 + 2 égale 1 + 1 + 1 + 1, et que ce dernier nombre est égal à 4, alors...
SOPHIE - 2 + 2 = 4!
© CVM, 1997